話題になった例のシーンの杏の頭の中で行われたであろう計算式を書いてみました。
2011年12/30放送の「日本No.1の頭脳王！大決定戦！！」準々決勝で全く同じ問題が出ているようです。
解法はこちら。　http://blog.livedoor.jp/db_k-brain/archives/1004441570.html
クイズ勢にとってはよく見る問題だったのかもしれません。

実際の番組では中三で東大理ⅢがA判定だったという、国際数学オリンピックの金メダリストが
問題表示から25秒かかって「401km/h」という解答を「筆算で」導き出しました（Youtubeに動画があります）
それを僅か16秒で暗算だけで「401.306km/h」と解いている杏は、どう考えても人間業ではないです。

実際に解いてみると、重力加速度の公式が頭に入っていれば、与えられた数字を単純に当てはめて
暗算で解答するのは、途中の式で端数を切り捨てて考えればそこまで無理ではなさそうです。
特別な計算をせずとも「√12426≒111m/s→約400km/h」であることは凡そ見当がつくからです。
しかし、杏はわざわざ小数点第四位まで暗算した上で四捨五入して解答しています。
ここまで正確な数字を計算している以上、杏は実際に小数点含む6桁の平方根を
暗算で解いていると考えるしかないでしょう。（0.4を切り捨てるとSQRT(12426)=111.47196..となってしまう）
これは開平法という計算方法で求めることができるそうですが、
式を見ると小数点第二位から暗算の難易度が一気に跳ね上がります。
開平法の式の解を念頭に置きながら、6桁の掛け算と引き算を頭の隅で高速で繰り返さないといけないからです。
先程のブログでも、小数点第二位以下は切り捨てて解答しています。

ここで重要なのは、杏が高校物理基礎レベルの等加速度直線運動の公式を頭に入れていたことでも、
開平法を知っていたことでも、世界トップレベルの計算能力を持っていたことでもなく、
明らかにそこまでの解答を求められていないにも関わらず、わざわざ必要以上の精度で計算したことだと思います。
この病的なまでに妥協のない姿勢に、杏がニートになってしまった原因が見え隠れしてる気が……。

杏の天才性が意外な形で描写された9話でしたが、本気で解いたとしたらもう頭が良いとかいうレベルじゃなくて
何かそういう病気なんじゃないだろうか……と心配になってしまう回でした。
計算に頼らない手段（超常的直観あるいは超能力・カンニング）によるものであった説や、
そもそも全部台本であったという説の方が合理的かもしれませんが……。

※

解答までの時間が3秒だという意見も見られましたが、高校生クイズ頂上決戦レベルの出題に対して
司会が問題を読み終えるまで呑気してるとは到底思えず、画面に問題が表示された
その瞬間から杏の頭脳がフル回転していたと仮定して多めに見て16秒としました。

あと俺は文系なので、間違ってるとこ多々あるかもしれません。ご容赦下さい。